Cho $\ a, b, c$ là 3 số thực dương. CMR: $\ 4{a}^{2}{b}^{2}{c}^{2}\geq \left({a}^{3}+{b}^{3}+{c}^{3}+abc \right)\left(a+b-c \right)\left(b+c-a \right)\left(c+a-b \right).$

Cho $\ a, b, c$ là 3 số thực dương. CMR: $\ 4{a}^{2}{b}^{2}{c}^{2}\geq \left({a}^{3}+{b}^{3}+{c}^{3}+abc \right)\left(a+b-c \right)\left(b+c-a \right)\left(c+a-b \right).$
Không mất tính tổng quát của bài toán, ta giả sử $a\ge b\ge c.$ Ta có các hằng đẳng thức sau đây $$abc-(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)=(a-b)^2(a+b-c)+c(a-c)(b-c),$$ $$a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)[(a-b)^2+(a-c)(b-c)].$$ Sử dụng các hằng đẳng thức này, ta có thể viết bất đẳng thức trên lại thành $$(a^3+b^3+c^3+abc)[abc-(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)]\ge abc(a^3+b^3+c^3-3abc),$$ hay là $$(a^3+b^3+c^3+abc)[(a-b)^2(a+b-c)+c(a-c)(b-c)]\ge abc(a+b+c)[(a-b)^2+(a-c)(b-c)],$$ $$(a-b)^2\cdot M +(a-c)(b-c)\cdot N \ge 0,$$ trong đó $$\begin {aligned} M&=(a^3+b^3+c^3+abc)(a+b-c)-abc(a+b+c)\\N&=(a^3+b^3+c^3+abc)c-abc(a+b+c).\end{aligned}$$ Vì $(a-b)^2$ và $(a-c)(b-c)$ đều không âm nên nếu ta chứng minh được cả $M,N$ đều là các số không âm nữa thì bài toán xem như đã được chứng minh. Thật vậy, ta có $$\begin {aligned} M&=(a^3+b^3+c^3+abc)(a+b-c)-abc(a+b+c)\\&=(a^3+b^3+c^3)(a+b-c)-2abc \cdot c\\& \ge 3abc \cdot a -2abc \cdot c\\& =abc(3a-2c)>0.\end{aligned}$$ và $$\begin {aligned} N&=(a^3+b^3+c^3+abc)c-abc(a+b+c)\\&=c[a^3+b^3+c^3+abc-ab(a+b+c)]\\&=c[a^3+b^3-ab(a+b)]\\&=c(a-b)^2(a+b)\ge 0.\end{aligned}$$ Vậy bài toán đã được chứng minh xong $\Box$


Nguồn: onluyentoan.vn