Cho các số dương $a,b,c,m,n,p$ thỏa mãn: $a+m=b+n=c+p=k$. Chứng minh rằng $$an+bp+cm < k^2$$

Cho các số dương $a,b,c,m,n,p$ thỏa mãn: $a+m=b+n=c+p=k$. Chứng minh rằng  $$an+bp+cm < k^2$$
Lời giải:
Từ giả thiết, ta có $(k-a)(k-b)(k-c)+abc>0,$ hay $$k^2>k(a+b+c)-(ab+bc+ca).$$ Bất đẳng thức này có thể được viết lại thành $$a(k-b)+b(k-c)+c(k-a)< k^2.$$ Do $k-b=n,\, k-c=p,\, k-a=m$ nên ta có $$an+bp+cm<k^2.$$ Đây chính là kết quả cần chứng minh. $\blacksquare$
Theo Võ Quốc Bá Cẩn.