Đề dự
bị khối A - 2002
Cho x,y,z là khoảng cách từ M thuộc miền của tam giác ABC nhọn, trên các cạnh BC,CA,AB.
Cmr: $\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}\leq \sqrt{\frac{a^2+b^2+c^2}{2R}}$
Trong đó: a,b,c là các cạnh tam giác ABC, R là bán kinh đường tròn ngoại tiếp.Dấu bằng xảy ra khi nào.Áp dụng BĐT Bunhiacopxki, ta có:
$$\sqrt x + \sqrt y + \sqrt z = \frac{1}{{\sqrt a }}\sqrt {ax} + \frac{1}{{\sqrt b }}\sqrt {by} + \frac{1}{{\sqrt c }}\sqrt {cz} \le $$
$$ \le \sqrt {\left( {\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}} \right)\left( {ax + by + cz} \right)} = \sqrt {\left( {\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}} \right)2S} = \sqrt {\left( {\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}} \right)\frac{{abc}}{{2R}}} $$
$$ = \sqrt {\frac{{ab + bc + ca}}{{2R}}} \le \sqrt {\frac{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}{{2R}}} $$
Dấu "=" xảy ra $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = y = z\\
a = b = c
\end{array} \right.$ $\blacksquare$
Cho x,y,z là khoảng cách từ M thuộc miền của tam giác ABC nhọn, trên các cạnh BC,CA,AB.
Cmr: $\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}\leq \sqrt{\frac{a^2+b^2+c^2}{2R}}$
Trong đó: a,b,c là các cạnh tam giác ABC, R là bán kinh đường tròn ngoại tiếp.Dấu bằng xảy ra khi nào.Áp dụng BĐT Bunhiacopxki, ta có:
$$\sqrt x + \sqrt y + \sqrt z = \frac{1}{{\sqrt a }}\sqrt {ax} + \frac{1}{{\sqrt b }}\sqrt {by} + \frac{1}{{\sqrt c }}\sqrt {cz} \le $$
$$ \le \sqrt {\left( {\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}} \right)\left( {ax + by + cz} \right)} = \sqrt {\left( {\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}} \right)2S} = \sqrt {\left( {\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}} \right)\frac{{abc}}{{2R}}} $$
$$ = \sqrt {\frac{{ab + bc + ca}}{{2R}}} \le \sqrt {\frac{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}{{2R}}} $$
Dấu "=" xảy ra $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = y = z\\
a = b = c
\end{array} \right.$ $\blacksquare$
0 nhận xét:
Đăng nhận xét