Đề thi ĐH khối B - 2007

Đề thi ĐH khối B - 2007
Cho x,y,z > 0. Tìm GTNN của biểu thức
$$P=x(\frac{x}{2}+\frac{1}{yz})+y(\frac{y}{2}+\frac{1}{xz})+z(\frac{z}{2}+\frac{1}{xy})$$

Cách 1: Ta có: $$P = \frac{{{x^2} + {y^2} + {z^2}}}{2} + \frac{{{x^2} + {y^2} + {z^2}}}{{xyz}} \geqslant \frac{{{x^2} + {y^2} + {z^2}}}{2} + \frac{{xy + yz + zx}}{{xyz}}$$
$$ = \left( {\frac{{{x^2}}}{2} + \frac{1}{x}} \right) + \left( {\frac{{{y^2}}}{2} + \frac{1}{y}} \right) + \left( {\frac{{{z^2}}}{2} + \frac{1}{z}} \right) \geqslant \frac{3}{2} + \frac{3}{2} + \frac{3}{2} = \frac{9}{2}$$
Đẳng thức xảy ra $ \Leftrightarrow x = y = z = 1$

Cách 2: Không mất tính tổng quát giả sử $$x\geq y\geq z\Rightarrow \frac{x}{2}+\frac{1}{yz}\geq \frac{y}{2}+\frac{1}{xz}\geq \frac{z}{2}+\frac{1}{xy}$$
Áp dụng BĐT Trê- Bư- Sép 2 bộ dãy đơn điệu tăng (BĐT này khi thi chứng minh lại vẫn có thể sử dụng được)
$$P\geq \frac{x+y+z}{3}.(\frac{x}{2}+\frac{y}{2}+\frac{z}{2}+\frac{1}{xy}+\frac{1}{xz}+\frac{1}{yz})$$
$$ \ge \frac{{(x + y + z)^2 }}{6} + \frac{{9(x + y + z)}}{{3.\frac{{(x + y + z)^2 }}{3}}} = \frac{{(x + y + z)^2 }}{6} + \frac{9}{{x + y + z}} $$
$$= \frac{{(x + y + z)^2 }}{6} + \frac{9}{{2(x + y + z)}} + \frac{9}{{2(x + y + z)}}\mathop  \ge  3\sqrt[3]{{\frac{{(x + y + z)^2 }}{6}.\frac{9}{{2(x + y + z)}}.\frac{9}{{2(x + y + z)}}}} = \frac{9}{2}$$
Dấu "=" xảy ra khi $x=y=z=1$
Cách 3:
$$P=\frac{1}{2}(x^2+y^2+z^2+\frac{x}{yz}+\frac{z}{xy}+\frac{y}{xz}+\frac{x}{yz}+\frac{z}{xy}+\frac{y}{xz})\geq \frac{9}{2}.\sqrt[9]{\frac{x^4y^4z^4}{x^4y^4z^4}}=\frac{9}{2}$$