Giả sử hệ phương trình: $\left\{ \begin{array}{l}{x^2} + xy + {y^2} = 3\\{y^2} + yz + {z^2} = 16\end{array} \right.$ có nghiệm. Chứng minh rằng: $$xy + yz + zx \le 8.$$ 

Cách 1:

Sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, ta có $$\begin {aligned}\left ( xy+yz+zx \right )^2&=\left [ x\left ( y+\frac{z}{2} \right )+z\left ( y+\frac{z}{2} \right ) \right ]^2\\&\le \left [ x^2+\frac{4}{3}\left ( y+\frac{x}{2} \right )^2 \right ]\left [ \left ( y+\frac{z}{2} \right )^2+\frac{3}{4}z^2 \right ]\\&=\frac{4}{3}( x^2+xy+y^2 )( y^2+yz+z^2 )=64 .\end {aligned}$$ Từ đó ta dễ dàng suy ra ra được $$xy+yz+zx\le 8$$ với đẳng thức xảy ra khi và chỉ $$x=\frac{7}{\sqrt{31}},\, y=\frac{4}{\sqrt{31}}, \, z = \frac{20}{\sqrt{31}}.$$ Chứng minh hoàn tất. $\Box$  

Cách 2:

Bài này có thể hiểu ý nghĩa hình học thế này: Lấy một điểm O bất kì trong mặt phẳng, ta dựng ba tia Ox, ,Oy,, Oz sao cho Ox, ,Oy, Oz lần lượt hợp với nhau ba góc mỗi góc $120^{\circ}$. Trên Ox lấy điểm A sao cho OA=x, trên OB lấy điểm B sao cho OB=y và trên Oz lấy điểm C sao cho OC=z. Khi đó theo định lý hàm số cos ta có: $AB = \sqrt {x^2 + xy + y^2 } = \sqrt 3 ,\quad BC = \sqrt {y^2 + yz + z^2 } = 4 . $

Lúc này thì: $xy + yz + zx = \frac{4}{{\sqrt 3 }}( {S_{AOB} + S_{BOC} + S_{COA} }) = \frac{4}{{\sqrt 3 }}S_{ABC} \le \frac{4}{{\sqrt 3 }}\cdot \frac{1}{2}\cdot BA\cdot BC = \frac{4}{{\sqrt 3 }}\cdot \frac{1}{2}\cdot \sqrt 3 \cdot 4 = 8. $

Dấu bằng xảy ra khi tam giác ABC vuông tại B từ đó chọn được x, y, z thích hợp.

Cách 3:

 Để ý rằng $$48=( x^{2}+xy+ y^{2})( y^{2}+yz+ z^{2})=\left[ \left(y+\frac{x}{2}\right)   ^{2}+\left(\frac{x\sqrt{3} }{2}\right) ^{2}\right]\left[\left(\frac{z\sqrt{3} }{2}\right)  ^{2}+ \left(y+\frac{z}{2}\right) ^{2}\right].$$ Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta có:  $$48 \geq \left(\frac{yz\sqrt{3} }{2}+\frac{xz\sqrt{3} }{4}+\frac{xy\sqrt{3} }{2}+\frac{xz\sqrt{3} }{4}\right)^2= \left[\frac{(xy+yz+zx)\sqrt{3} }{2}\right] ^{2}.$$ Từ đó suy ra $xy+yz+zx \leq 8.$ $\blacksquare$
 

Nguồn: onluyentoan.vn