Cho $a,b,c$ là các số thực dương. Tìm GTNN của biểu thức:
$$Q = \frac{{a + b}}{{a + b + c}} + \frac{{b + c}}{{b + c + 4a}} + \frac{{c + a}}{{c + a + 16b}}$$
Ta có: $$ 3-Q=\frac{c}{a+b+c}+\frac{4a}{a+b+4a}+\frac{16b}{a+c+16b}$$
Áp dụng BĐT (1) được: $\frac{4}{b+c+4a}\leq \frac{1}{a+b+c}+\frac{1}{3a} \Rightarrow \frac{4a}{b+c+4a}\leq \frac{a}{a+b+c}+\frac{1}{3}$
$$Q = \frac{{a + b}}{{a + b + c}} + \frac{{b + c}}{{b + c + 4a}} + \frac{{c + a}}{{c + a + 16b}}$$
Ta có: $$ 3-Q=\frac{c}{a+b+c}+\frac{4a}{a+b+4a}+\frac{16b}{a+c+16b}$$
Áp dụng BĐT (1) được: $\frac{4}{b+c+4a}\leq \frac{1}{a+b+c}+\frac{1}{3a} \Rightarrow \frac{4a}{b+c+4a}\leq \frac{a}{a+b+c}+\frac{1}{3}$
$$\frac{16}{b+c+16b}\leq \frac{1}{a+b+c}+\frac{1}{5b}+\frac{1}{5b}+ \frac{1}{5b} \Rightarrow \frac{16b}{b+c+16a}\leq \frac{b}{a+b+c}+\frac{3}{5}$$
Do đó: $3-Q\leq \frac{29}{15}\Rightarrow Q\geq \frac{16}{15}$ Vậy GTNN của Q bằng $\frac{16}{15} $khi và chỉ khi: $a=x, b=\frac{3x}{5}, c=\frac{7x}{5} $với $x>0$
Do đó: $3-Q\leq \frac{29}{15}\Rightarrow Q\geq \frac{16}{15}$ Vậy GTNN của Q bằng $\frac{16}{15} $khi và chỉ khi: $a=x, b=\frac{3x}{5}, c=\frac{7x}{5} $với $x>0$
Nguồn: onluyentoan.vn
0 nhận xét:
Đăng nhận xét