Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $$T=\frac{ab+bc}{a^2-b^2+c^2}+\frac{bc+ca}{b^2-c^2+a^2}+\frac{ac+ab}{c^2-a^2+b^2}$$

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

$$T=\frac{ab+bc}{a^2-b^2+c^2}+\frac{bc+ca}{b^2-c^2+a^2}+\frac{ac+ab}{c^2-a^2+b^2}$$

Với a,b,c là độ dài 3 cạnh 1 tam giác ABC và $abc=1$

Lời giải:

Nhận xét rằng T chỉ là GTNN trong trường hợp tam giác ABC nhọn. Thật vậy.

• Nếu tam giác ABC vuông chẳng hạn tại A thì $c^2-a^2+b^2=0$, biểu thức T không xác định.
• Nếu tam giác ABC tù chẳng hạn tại A.

Chọn $b=c=\frac{1}{\sqrt[6]{a}}-\alpha (\alpha \in \mathbb{R}$ đủ nhỏ ), $a=\frac{1}{bc}$. Khi đó rõ ràng $T \to  + \infty $ khi $\alpha \to 0$. Lúc này T không đạt GTNN.

• Xét trường hợp tam giác ABC nhọn. Khi đó $a^2-b^2+c^2;a^2+b^2-c^2;c^2-a^2+b^2$ là các số dương.

Áp dụng BĐT AM-GM

$$T = ab(\frac{1}{{a^2  - b^2  + c^2 }} + \frac{1}{{c^2  - a^2  + b^2 }}) + bc(\frac{1}{{b^2  - c^2  + a^2 }} + \frac{1}{{b^2  - c^2  + a^2 }}) + ac(\frac{1}{{c^2  - a^2  + b^2 }} + \frac{1}{{b^2  + a^2  - c^2 }}) $$

$$\ge 2(\frac{{ab}}{{c^2 }} + \frac{{bc}}{{a^2 }} + \frac{{ac}}{{b^2 }})$$

$$\frac{{ab}}{{c^2 }} + \frac{{bc}}{{a^2 }} + \frac{{ac}}{{b^2 }} \ge 3\sqrt[3]{{\frac{{ab}}{{c^2 }}.\frac{{bc}}{{a^2 }}.\frac{{ac}}{{b^2 }}}} = 3$$

Do đó $$T \ge 3$$ đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c=1$ khi này tam giác ABC đều. $\blacksquare$