Cho $x,\, y,\, z$ là các số dương thỏa mãn $x+y+z=1 .$ Chứng minh rằng $$x + \sqrt{xy}+\sqrt[3]{xyz}\leq  \frac{4}{3}. $$

Sử dụng bất đẳng thức AM-GM, ta có $$\sqrt{xy} \le \frac{x+4y}{4}$$ và $$\sqrt[3]{xyz} \le \frac{x+4y+16z}{12}.$$ Từ đó suy ra $$x+\sqrt{xy}+\sqrt[3]{xyz} \le x+\frac{x+4y}{4}+\frac{x+4y+16z}{12} =\frac{4}{3} (x+y+z)=\frac{4}{3}.$$ Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $x=\frac{16}{21},\, y=\frac{4}{21}$ và $z=\frac{1}{{21}}.$ $\blacksquare$