Pages

Nhận xét


Ping box

Người theo dõi

Dịch

Thứ Ba, 24 tháng 7, 2012

IMO 2012

Problem: Let $n \ge 3$ be an integer, and let $a_2, a_3, \ldots , a_n$ be positive real numbers such that $a_2\cdots a_n = 1.$ Prove that \[(1+a_2)^2(1+a_3)^3\cdots (1+a_n)^n > n^n\]

Bài toán: Cho số nguyên $n \ge 3$ và ${a_2},{a_3},...,{a_n}$ là các số thực dương thỏa mãn ${a_2}{a_3}...{a_n} = 1$. Chứng minh rằng:
\[(1+a_2)^2(1+a_3)^3\cdots (1+a_n)^n > n^n\]
Giải: 
Áp dụng $AM-GM$ ta có :
$$(1+a_k)^k=\left (\frac{1}{k-1}.(k-1)+a_k\right )^k\ge \left (\frac{k\sqrt[k]{a_k}}{\sqrt[k]{(k-1)^{k-1}}}\right )^k=\frac{a_k}{(k-1)^{k-1}}.k^k$$
Nên do đó :
$$(1+a_2)^2(1+a_3)^3...(1+a_n)^n\ge n^n.a_2...a_n=n^n$$
Nhưng dấu "=" không xảy ra, suy ra điều cần chứng minh. $\blacksquare$

Thứ Hai, 23 tháng 7, 2012

Cho n số nguyên phân biệt $a_1;a_2;...a_n$. Chứng minh rằng:$$a_1^2+a_2^2+...+a_n^2\ge\frac{2n+1}{3}(a_1+a_2+...+a_n)$$
Lời giải:
  • Với $n=1$ ta có $a_1^2\ge a_1 \iff a_1(a_1-1)\ge0$, đúng
  • Giả sử mệnh đề đúng với $n=k\ge 1$ tức là với mọi k nguyên dương $a_1;a_2;...a_k$ bất kì thì
$$a_1^2+a_2^2+...+a_k^2\ge\frac{2k+1}{3}(a_1+a_2+...+a_k)$$
Xét $k+1$ số nguyên dương tương ứng là $a_1;a_2;...a_{k+1}$ và không mất tính tổng quát giả sử $a_{k+1} = max{a_1;a_2;...a_{k+1}$. Ta cần chứng minh
$$a_1^2+a_2^2+...+a_k^2+a_{k+1}^2\ge\frac{2k+3}{3}(a_1+a_2+...+a_k+a_{k+1})$$
Theo giả thiết quy nạp thì $$a_1^2+a_2^2+...+a_k^2\ge\frac{2k+1}{3}(a_1+a_2+...+a_k)$$
Vì các số khác nhau đôi một nên $a_{k+1}-a_j\ge k+1-i,i=1,2,3,...k$
Suy ra \[
a_1  + a_2  + ... + a_k  \le \sum\limits_{i = 1}^k {(k + 1 - i) = \frac{{k(k + 1)}}{2}}
\]
Ta sẽ chứng minh rằng
\[
a_{k + 1}^2  \ge \frac{{k(k + 1)}}{2} + \frac{{2k + 3}}{3}a_{k + 1}  \Leftrightarrow 6a_{k + 1}^2  \ge 3k(k + 1) + 2(2k + 3)a_{k + 1}
\]
Bất đẳng thức này tương đương $$(a_{k + 1}  - k - 1)(3a_{k + 1}  - k) \ge 0$$ đúng do $a_{k+1}\ge k+1$
Suy ra mệnh đề đúng với n=k+1 theo nguyên lý quy nạp bài toán được chứng mi