Cho các số a,b,c thực dương thỏa mãn $a+b+c=1$
Chứng minh rằng $$a\sqrt[3]{1+b-c}+b\sqrt[3]{1+c-a}+c\sqrt[3]{1+a-b}\leq 1$$
Dễ thấy các số trong căn đều dương. Áp dụng BĐT Bernoulli(*)
$$\sqrt[3]{1+b-c}\leq \frac {1}{3}(1+b-c)+\frac{2}{3}=\frac{1}{3}(b-c)+1$$
$a\sqrt[3]{1+b-c}\leq \frac{1}{3}(ab-ac)+a$
Thiết lập tương tự ta có:
$$ b\sqrt[3]{1+c-a}\leq \frac{1}{3}(cb-ba)+b$$
$$c\sqrt[3]{1+a-b}\leq \frac{1}{3}(ca-bc)+c$$
Cộng lại ta có: $$VT\leq \frac{1}{3}(ab+bc+ac-ab-bc-ac)+a+b+c=1$$
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \[
\left\{ \begin{array}{l}
a = b = c \\
a + b + c = 1 \\
\end{array} \right. \Leftrightarrow a = b = c = \frac{1}{3}
\]