Khối B –
2006
Cho x;y là 2 số thực dương. Tìm GTNN của
A=$\sqrt{(x-1)^2+y^2}+\sqrt{(x+1)^2+y^2}+|y-2|$
A=$\sqrt{(x-1)^2+y^2}+\sqrt{(x+1)^2+y^2}+|y-2|$
Áp dụng BĐT cauchy-schwarz ta có
$\sqrt{\frac{3}{4}+\frac{1}{4}}.\sqrt{(1-x)^2+y^2}\geq |\sqrt{\frac{3}{4}}.(1-x)+\frac{1}{2}y|$
Tương tự ta có: $\sqrt{\frac{3}{4}+\frac{1}{4}}.\sqrt{(1+x)^2+y^2}\geq |\sqrt{\frac{3}{4}}.(1+x)+\frac{1}{2}y|$
$$M\geq |\sqrt{\frac{3}{4}}.(1+x)+\frac{1}{2}y|+|\sqrt{\frac{3}{4}}(1-x)+\frac{1}{2}y|+|2-y|$$
$\sqrt{\frac{3}{4}+\frac{1}{4}}.\sqrt{(1-x)^2+y^2}\geq |\sqrt{\frac{3}{4}}.(1-x)+\frac{1}{2}y|$
Tương tự ta có: $\sqrt{\frac{3}{4}+\frac{1}{4}}.\sqrt{(1+x)^2+y^2}\geq |\sqrt{\frac{3}{4}}.(1+x)+\frac{1}{2}y|$
$$M\geq |\sqrt{\frac{3}{4}}.(1+x)+\frac{1}{2}y|+|\sqrt{\frac{3}{4}}(1-x)+\frac{1}{2}y|+|2-y|$$
$$\geq
|\sqrt{\frac{3}{4}}.(1+x)+\frac{1}{2}y+\sqrt{\frac{3}{4}}(1-x)+\frac{1}{2}y+2-y|=2+\sqrt{3}$$
Đây là câu trong đề dự bị năm 2010.
Cho $x,y,z$ là 3 số thực dương . Tìm GTLN của biểu thức:
$$P = \frac{{\sqrt {yz} }}{{x + 2\sqrt {yz} }} + \frac{{\sqrt {xz} }}{{y + 2\sqrt {xz} }} + \frac{{\sqrt {xy} }}{{z + 2\sqrt {xy} }}$$
2P$= 3-\sum \frac{x}{x+{2\sqrt{yz}}}\leq 3-\frac{(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z})^{2}}{(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z})^{2}}=2$(AM-GM)
$\Rightarrow P\leq 1$
Đẳng thức xảy ra khi $x=y=z$
Cho $x,y,z$ là 3 số thực dương . Tìm GTLN của biểu thức:
$$P = \frac{{\sqrt {yz} }}{{x + 2\sqrt {yz} }} + \frac{{\sqrt {xz} }}{{y + 2\sqrt {xz} }} + \frac{{\sqrt {xy} }}{{z + 2\sqrt {xy} }}$$
2P$= 3-\sum \frac{x}{x+{2\sqrt{yz}}}\leq 3-\frac{(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z})^{2}}{(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z})^{2}}=2$(AM-GM)
$\Rightarrow P\leq 1$
Đẳng thức xảy ra khi $x=y=z$
0 nhận xét:
Đăng nhận xét