Bài toán: Chứng minh rằng với mọi a,b,c không âm thì:

$$a^6+b^6+c^6+3a^2b^2c^2\geq 2(a^3b^3+b^3c^3+a^3c^3)$$

Trước hết ta chứng minh bổ đề sau:

Với mọi x,y,z không âm ta có: 

$$\sum x(x-y)(x-z)\geq 0(1)$$

Không mất tính tổng quát giả sử $z\geq y\geq x$

Ta có: $$x(x-y)(y-z)\geq 0(2)$$

Từ $z\geq y\geq 0$ nên $z-x\geq y-z\geq0$

Do đó: $$y(y-z)(y-x)+z(z-x)(z-y)=(z-x)[z(z-x)-y(y-x)]\ge0(3)$$

Cộng (2) và (3) ta được (1)

Đặt $x=a^2;y=b^2;z=c^2$

Ta có bất đẳng thức cần chứng minh tương đương

$\sum a^2(a^2-b^2)(a^2-c^2)\geq 0$

$\Leftrightarrow a^6+b^6+c^6+3a^2b^2c^2\geq \sum (a^4b^2+b^2a^4)$

Sử dụng BĐT AM-GM cho 2 số không âm ta có:

$a^4b^2+a^2b^4\ge a^3b^3$

$c^4b^2+c^2b^4\ge b^3c^3$

$c^4a^2+a^2c^4\ge a^3c^3$

Từ đó ta có: $$a^6+b^6+c^6+3a^2b^2c^2\geq 2(a^3b^3+b^3c^3+c^3a^3)$$