Đề dự bị khối D - 2002

Đề dự bị khối D - 2002
Cho tam giác ABC có diện tích là $\frac{3}{2}$
CMR: $$(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})(\frac{1}{h_{a}}+\frac{1}{h_{b}}+\frac{1}{h_{c}})\geq 3$$

Ta có: $$S = \frac{1}{2}a{h_a} = \frac{1}{2}a{h_b} = \frac{1}{2}a{h_c} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{h_a} = \frac{{2S}}{a}\\
{h_b} = \frac{{2S}}{b}\\
{h_c} = \frac{{2S}}{c}
\end{array} \right. \Rightarrow \frac{1}{{{h_a}}} + \frac{1}{{{h_b}}} + \frac{1}{{{h_c}}} = \frac{1}{{2S}}\left( {a + b + c} \right)$$
$$ \Rightarrow \left( {\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}} \right)\left( {\frac{1}{{{h_a}}} + \frac{1}{{{h_b}}} + \frac{1}{{{h_c}}}} \right) = \frac{1}{{2S}}\left( {a + b + c} \right)\left( {\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}} \right)$$
Áp dụng bất đẳng thức AM - GM, ta có:
$$\left( {a + b + c} \right)\left( {\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}} \right) \ge 9 \Rightarrow \left( {\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}} \right)\left( {\frac{1}{{{h_a}}} + \frac{1}{{{h_b}}} + \frac{1}{{{h_c}}}} \right) \ge \frac{9}{{2.\frac{3}{2}}} = 3$$
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi tam giác $ABC$ đều.