Đề dự bị khối D năm 2002

Đề dự bị khối D năm 2002
Giả sử a,b,c,d là 4 số nguyên thay đổi thỏa
$1\leq a<b<c<d\leq50$
Chứng minh: $\frac{a}{b}+\frac{c}{d}\geq \frac{b^2+b+50}{50b}$
Và tìm GTNN của S =$\frac{a}{b}+\frac{c}{d}$
Do $a \ge 1;d \le 50;c > b$ nên $c \ge b + 1$, suy ra:
$$ \frac{a}{b} + \frac{c}{d} \ge \frac{1}{b} + \frac{{b + 1}}{{50}} = \frac{{{b^2} + b + 50}}{{50b}}$$
Đẳng thức xảy ra $ \Leftrightarrow a = 1,d = 50,c = b + 1$
Ta có: $$\frac{{{b^2} + b + 50}}{{50b}} = \frac{b}{{50}} + \frac{1}{b} + \frac{1}{{50}} \Rightarrow f\left( x \right) = \frac{x}{{50}} + \frac{1}{x} + \frac{1}{{50}}\,\,\left( {2 \le x \le 48} \right)$$
Để tìm GTNN của $S = \frac{a}{b} + \frac{c}{d}$ ta tìm GTNN của $f\left( x \right)$.
Có $$f'\left( x \right) = \frac{1}{{50}} - \frac{1}{{{x^2}}} \Rightarrow f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{x^2} = 50\\
2 \le x \le 48
\end{array} \right. \Leftrightarrow x = 5\sqrt 2 $$
Lập bảng biến thiên ta tìm được: $$\mathop {\min }\limits_{2 \le x \le 48} f\left( x \right) = \frac{{53}}{{175}} \Rightarrow \min S = \frac{{53}}{{175}} \Leftrightarrow \left( {a,b,c,d} \right) = \left( {1,7,8,50} \right)$$