Pages

Nhận xét


Ping box

Người theo dõi

Dịch

Thứ Tư, 21 tháng 3, 2012

Chứng minh : $\sqrt{(a^2b+b^2c+c^2a)(ab^2+bc^2+ca^2)}\ge abc+\sqrt[3]{(a^3+abc)(b^3+abc)(c^3+abc)} $ với a,b,c dương


Chứng minh : $\sqrt{(a^2b+b^2c+c^2a)(ab^2+bc^2+ca^2)}\ge abc+\sqrt[3]{(a^3+abc)(b^3+abc)(c^3+abc)} $ với a,b,c dương
Vì $abc\ne 0$ nên ta chia cả 2 vế của bất đẳng thức cho $abc$, ta được:
\[\sqrt{\left( \frac{a}{c}+\frac{b}{a}+\frac{c}{a} \right)\left( \frac{b}{c}+\frac{c}{a}+\frac{a}{b} \right)}\ge 1+\sqrt[3]{\left( 1+\frac{bc}{{{a}^{2}}} \right)\left( 1+\frac{ca}{{{b}^{2}}} \right)\left( 1+\frac{ab}{{{c}^{2}}} \right)}\]
\[\Leftrightarrow \sqrt{3+\frac{bc}{{{a}^{2}}}+\frac{ca}{{{b}^{2}}}+\frac{ab}{{{c}^{2}}}+\frac{{{a}^{2}}}{bc}+\frac{{{b}^{2}}}{ca}+\frac{{{c}^{2}}}{ab}}\ge 1+\sqrt[3]{\left( 1+\frac{bc}{{{a}^{2}}} \right)\left( 1+\frac{ca}{{{b}^{2}}} \right)\left( 1+\frac{ab}{{{c}^{2}}} \right)}\]
Đặt: $x=\frac{bc}{{{a}^{2}}};y=\frac{ca}{{{b}^{2}}};z=\frac{ab}{{{c}^{2}}}$ $\Rightarrow xyz=1$.
Khi đó ta cần chứng minh
\[\sqrt{3+x+y+z+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}}\ge 1+\sqrt[3]{(1+x)(1+y)(1+z)}\]
\[\Leftrightarrow \sqrt{3+x+y+z+xy+yz+zx}\ge 1+\sqrt[3]{2+x+y+z+xy+yz+zx}\]
Đặt $t=\sqrt[3]{2+x+y+z+xy+yz+zx}.$
Sử dụng bất đẳng thức $AM-GM$ ta có
\[x+y+z+xy+yz+zx\ge 6 \Rightarrow t\ge \sqrt[3]{2+6}=2.\]
Khi đó, bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với
\[\sqrt{{{t}^{3}}+1}\ge 1+t\Leftrightarrow {{t}^{3}}+1\ge {{t}^{2}}+2t+1\Leftrightarrow {{t}^{3}}-{{t}^{2}}-2t\ge 0\Leftrightarrow t(t+1)(t-2)\ge 0,\] hiển nhiên đúng với $t\ge 2.$
Phép chứng minh hoàn tất. :)
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c. \blacksquare$

0 nhận xét:

Đăng nhận xét