Tìm GTNN của biểu thức :
\[T = \frac{{{a^2}}}{{{a^2} + {{\left( {b + c} \right)}^2}}} + \frac{{{b^2}}}{{{b^2} + {{\left( {c + a} \right)}^2}}} + \frac{{{c^2}}}{{{c^2} + {{\left( {a + b} \right)}^2}}}\]
Trong đó a,b,c là các số thực khác 0. 
Lời giải:
$$T=\frac{a^2}{a^2+b^2+c^2+2cb}+\frac{b^2}{b^2+c^2+a^2+2ac}+\frac{c^2}{c^2+a^2+b^2+c^2+2ab}$$
$$T\geq\frac{a^2}{a^2+2(b^2+c^2)}+\frac{b^2}{b^2+2(a^2+c^2)}+\frac{c^2}{c^2+2(a^2+b^2)}$$
Để đơn giản ta đặt $x=a^2;y=b^2;z=c^2$ $(x,y,z\geq 0)$
$$T\geq \frac{x}{x+2(y+z)}+\frac{y}{y+2(x+z)}+\frac{z}{z+2(x+y)}$$
$$=\frac{x^2}{x^2+2(yx+zx)}+\frac{y^2}{y^2+2(yx+yz)}+\frac{z^2}{z^2+2(xz+yz)}$$
Áp dụng BĐT Schwarz ta có
$$T\geq \frac{(x+y+z)^2}{x^2+y^2+z^2+4(xy+xz+yz)}\geq \frac{(x+y+z)^2}{(x+y+z)^2+\frac{2(x+y+z)^2}{3}}=\frac{3}{5}$$
Vậy T min = $\frac{3}{5}$ dấu "=" xảy ra khi x=y=z hay a=b=c