Khối A năm 2010

Khối A năm 2010

Đặt:$$ f(x,y,z)=\frac{x}{2x+3y}+\frac{y}{y+z}+\frac{z}{x+z}$$

Ta có: $$f(x,y,\sqrt{xy})=\frac{x}{2x+3y}+\frac{2\sqrt{y}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}$$

Ta xét hiệu:$$f(x,y,z)-f(x,y,\sqrt{xy})=\frac{(\sqrt{xy}-z)^2(\sqrt{x}-\sqrt{y})}{(x+z)(y+z)(\sqrt{x}+\sqrt{y})}\geq 0$$Hiển nhiên đúng.

Ta có: $$P=f(x,y,z)\geq \frac{x}{2x+3y}+\frac{2\sqrt{y}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}=\frac{\frac{x}{y}}{2\frac{x}{y}+3}+\frac{2}{\sqrt{\frac{x}{y}}+1}$$

Ta đặt: $t=\sqrt{\frac{x}{y}}$,$1\leq t\leq 2$. Ta có: $$P\geq \frac{t^2}{2t^2+3}+\frac{2}{1+t}$$

Bài toán tới đây trở nên đơn giản.

Cách 2:

Đặt $\frac{y}{x}=a;\,\,\frac{z}{y}=b;\,\,\,\frac{x}{z}=c.$

Khi đó $abc=1$ và $2\ge \sqrt{bc}\ge 1.$

Ta có $$P=\frac{1}{2+3a}+\frac{1}{1+b}+\frac{1}{1+c}.$$

Xét bài toán mới này có các biến $b$ và $c$ bình đẳng nên ta dự đoán đẳng thức xảy ra khi $b=c=\frac{1}{\sqrt{a}}.$

Khi đó $P=\frac{1}{2+3a}+\frac{2\sqrt{a}}{1+\sqrt{a}} :=f(a)$ với $a\in \left[ \frac{1}{4};\,1 \right].$

So sánh $f\left( \frac{1}{4} \right)$ với $f(1)$ ta dự đoán được $P$ đạt giá trị nhỏ nhất khi $a=\frac{1}{4}.$

Khi đó $b=c=2$ và ta tìm được các giá trị của $\left( x,y,z \right)$ tương ứng là $\left( 4,1,2 \right).$