Chứng minh rằng : $ \frac{x}{y} + \frac{y}{z} + \frac{z}{x} +\frac{y}{x} + \frac{x}{z} + \frac{z}{y} \leq \frac{26}{3} $ (Đề thi thử số 2-VMF)

Không mất tính tổng quát, giả sử $y$ nằm giữa $x$ và $z.$ Khi đó, ta có $(y-z)(y-x) \le 0,$ suy ra $$y^2+xz \le y(x+z).$$ Từ đây, ta được $$\frac{x}{y}+\frac{y}{z} =\frac{y^2+xz}{yz} \le \frac{y(x+z)}{yz} =\frac{x+z}{z} =\frac{x}{z}+1$$ và $$\frac{y}{x}+\frac{z}{y} =\frac{y^2+xz}{xy} \le \frac{y(x+z)}{xy} =\frac{x+z}{x} =\frac{z}{x}+1.$$ Từ hai đánh giá này suy ra $$\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}+\frac{y}{x}+\frac{x}{z}+\frac{z}{y} \le 2\left(\frac{x}{z}+\frac{z}{x}\right) +2.$$ Và như thế, ta chỉ cần chứng minh được $$\frac{x}{z}+\frac{z}{x} \le \frac{10}{3},$$ hay $$(3x-z)(x-3z) \le 0.$$ Bất đẳng thức này hiển nhiên đúng do $3x \ge 3 \ge z$ và $x \le 3 \le 3z.$ Bài toán được chứng minh xong. $\blacksquare$