Cho $a_1, a_2, ..., a_n$ là các số thực không âm thoả mãn $a_1 + a_2 + ... + a_n = 1$ Chứng minh rằng
$$a_1a_2 + a_2a_3 + ... + a_{n - 1}a_n \le \frac{1}{4}$$
$VT\leq (a_1+a_3+a_5+...+a_n)(a_2+a_4+...+a_{n-1})\leq \frac{1}{4}(a_1+a_2+...+a_{n-1}+a_n)^2=\frac{1}{4}$
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi
\[
\left\{ \begin{array}{l}
a_1 + a_3 + a_5 + ... + a_n = a_2 + a_4 + ... + a_{n - 1} \\
a_1 + a_2 + ... + a_n = 1 \\
a_1 a_4 = ... = 0 \\
\end{array} \right.
\]
$$a_1a_2 + a_2a_3 + ... + a_{n - 1}a_n \le \frac{1}{4}$$
$VT\leq (a_1+a_3+a_5+...+a_n)(a_2+a_4+...+a_{n-1})\leq \frac{1}{4}(a_1+a_2+...+a_{n-1}+a_n)^2=\frac{1}{4}$
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi
\[
\left\{ \begin{array}{l}
a_1 + a_3 + a_5 + ... + a_n = a_2 + a_4 + ... + a_{n - 1} \\
a_1 + a_2 + ... + a_n = 1 \\
a_1 a_4 = ... = 0 \\
\end{array} \right.
\]
0 nhận xét:
Đăng nhận xét