Cho x,y,z không âm thoả $$(x+z)(z+y)=1$$
Chứng minh rằng: $$\frac{1}{(x-y)^2}+\frac{1}{(y-z)^2}+\frac{1}{(z-x)^2}\geq 4$$
Lời giải:
Dễ thấy: $$1=(z+x)(z+y)=z^2+xy+xz+yz\geq xy+xz+yz$$
Suy ra : $\frac{4}{xy+xz+yz}\geq 4$ nên quy về bài toán cm BĐT mạnh hơn là
$$\frac{1}{(x-y)^2}+\frac{1}{(z-y)^2}+\frac{1}{(z-x)^2}\geq \frac{4}{xy+xz+yz}$$
Không mất tính tổng quát giả sử $z=min(x;y;z)$. Khi đó ta để ý rằng
$$\frac{1}{(x-y)^2}+\frac{1}{(z-x)^2}=\frac{(x-y)^2+2(z-x)(z-y)}{(y-z)^2(z-x)^2}=\frac{(x-y)^2}{(y-z)^2(z-x)^2}+\frac{2}{(z-x)(z-y)}$$
Suy ra $$\frac{1}{(x-y)^2}+\frac{1}{(z-x)^2}+\frac{1}{(y-z)^2}=\frac{1}{(x-y)^2}+\frac{(x-y)^2}{(y-z)^2(z-x)^2}+\frac{2}{(z-x)(z-y)}$$
Sử dụng BĐT AM-GM ta có
$$\frac{1}{(x-y)^2}+\frac{(x-y)^2}{(y-z)^2(z-x)^2}\geq \frac{2}{(z-x)(z-y)}$$
Từ đó suy ra $$VT\geq \frac{4}{(z-x)(z-y)}$$
Chứng minh sẽ toàn tất nếu ta chỉ ra được rằng
$$(z-x)(z-y)\leq xy+xz+yz\Leftrightarrow z(2x+2y-z)\geq 0$$
BĐT này đúng
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi$$\left\{\begin{matrix} z=0 & \\ (z-y)^2=(z-y)(z-x) \end{matrix}\right.\Leftrightarrow a=\frac{3\pm \sqrt{5}}{2}t;b=t;c=0(t>0)$$