Pages

Nhận xét


Ping box

Người theo dõi

Dịch

Thứ Bảy, 3 tháng 3, 2012

[KHỐI A_2007] Cho $x,y,z$ là các số thực dương thoả $xyz=1$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
$$P = \frac{{{x^2}\left( {y + z} \right)}}{{y\sqrt y  + 2z\sqrt z }} + \frac{{{y^2}\left( {z + x} \right)}}{{z\sqrt z  + 2x\sqrt x }} + \frac{{{z^2}\left( {x + y} \right)}}{{x\sqrt x  + 2y\sqrt y }}$$ 
Từ giả thiết xyz=1 và x,y,z>0 ta có: $x^2(y+z)\geq x^2.2\sqrt{yz}=2x\sqrt{x}$
$y^2(x+z)\geq 2y\sqrt{xz}$
$z^2(x+y)\geq 2z\sqrt{xy}$
Do đó $$P\geq \frac{2x\sqrt{x}}{y\sqrt{y}+2z\sqrt{z}}+\frac{2y\sqrt{y}}{z\sqrt{z}+2x\sqrt{x}}+\frac{2z\sqrt{z}}{x\sqrt{x}+2y\sqrt{y}}$$
Đặt: $$a=x\sqrt{x}+2y\sqrt{y};b=y\sqrt{y}+2z\sqrt{z};c=z\sqrt{z}+2x\sqrt{x}$$
Biết đổi ta được: $$x\sqrt{x}=\frac{4c+a-2b}{a};y\sqrt{y}=\frac{4a+b-2c}{9};z\sqrt{z}=\frac{4b+c-2a}{9}$$
Do đó: $$P\geq \frac{2}{9}[\frac{4c+a-2b}{a}+\frac{4a+b-2c}{b}+\frac{4b+c-2a}{c}]=\frac{2}{9}[4(\frac{a}{c}+\frac{c}{b}+\frac{b}{a})+(\frac{a}{c}+\frac{c}{b}+\frac{b}{a})-6]\geq 2$$

0 nhận xét:

Đăng nhận xét