Đề dự bị khối D năm 2008

Đề dự bị khối D năm 2008
Cho số nguyên n ($n\geq 2$) và 2 số thực không âm x,y. Chứng minh rằng
$\sqrt[n]{x^n+y^n}\geq \sqrt[n+1]{x^{n+1}+y^{n+1}}$. Dấu bằng xảy ra khi nào??

Xét $\left[ \begin{array}{l}
x = 0\\
y = 0
\end{array} \right.$, ta có: $$\sqrt[n]{{{x^n} + {y^n}}} = \sqrt[{n + 1}]{{{x^{n + 1}} + {y^{n + 1}}}}$$
Xét $x \ne 0,y \ne 0 \Rightarrow x > 0,y > 0$

Ta chứng minh: $$\sqrt[n]{{{x^n} + {y^n}}} > \sqrt[{n + 1}]{{{x^{n + 1}} + {y^{n + 1}}}}$$
Ta có: $$\sqrt[n]{{{x^n} + {y^n}}} > \sqrt[{n + 1}]{{{x^{n + 1}} + {y^{n + 1}}}} \Leftrightarrow \sqrt[n]{{{{\left( {\frac{x}{y}} \right)}^n} + 1}} > \sqrt[{n + 1}]{{{{\left( {\frac{x}{y}} \right)}^{n + 1}} + 1}}$$
Không mất tính tổng quát, giả sử $x \le y$. Đặt $t = \frac{x}{y} \Rightarrow 0 < t \le 1$

Khi đó, bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với: $$\sqrt[n]{{{t^n} + 1}} > \sqrt[{n + 1}]{{{t^{n + 1}} + 1}} \Leftrightarrow \frac{1}{n}\ln \left( {{t^n} + 1} \right) > \frac{1}{{n + 1}}\ln \left( {{t^{n + 1}} + 1} \right)$$
Xét hàm số: $$f\left( u \right) = \frac{1}{u}\ln \left( {{t^u} + 1} \right),u \in \left[ {2, + \infty } \right)$$
Ta có: $$f'\left( u \right) =  - \frac{1}{{{u^2}}}\ln \left( {{t^u} + 1} \right) + \frac{{{t^u}\ln t}}{{u\left( {{t^u} + 1} \right)}} < 0\,\,\,\forall u \in \left[ {2, + \infty } \right)$$
Suy ra $f\left( u \right)$ giảm trên $\left[ {2, + \infty } \right) \Rightarrow f\left( n \right) > f\left( {n + 1} \right)$
$$ \Leftrightarrow \frac{1}{n}\ln \left( {{t^n} + 1} \right) > \frac{1}{{n + 1}}\ln \left( {{t^{n + 1}} + 1} \right)$$
Vậy với $x,y \ge 0;n \in \left\{ {Z:n \ge 2} \right\}$ thì: $$\sqrt[n]{{{x^n} + {y^n}}} \ge \sqrt[{n + 1}]{{{x^{n + 1}} + {y^{n + 1}}}}$$
Đẳng thức xảy ra khi $x=0,y\in \mathbb{R}\; \; \vee \; x\in \mathbb{R},y=0$.