Với mọi số dương $a, b, c, d$ , chứng minh rằng :
$$\frac{b(a + c)}{c(a + b)} + \frac{c(b + d)}{d(b + c)} + \frac{d(c + a)}{a(c + d)} + \frac{a(d + b)}{b(d + a)} \ge 4$$
$$\frac{b(a + c)}{c(a + b)} + \frac{c(b + d)}{d(b + c)} + \frac{d(c + a)}{a(c + d)} + \frac{a(d + b)}{b(d + a)} \ge 4$$
$$VT=(a+c)[\frac{b}{c(a+b)}+\frac{d}{d(c+d)}]+(b+d)[\frac{c}{d(c+d)}+\frac{a}{b(d+a)}]$$
$$=(abc+abd+acd+bcd)[\frac{\frac{1}{a}+\frac{1}{c}}{(\frac{1}{a}+\frac{1}{b})(\frac{1}{d}+\frac{1}{c})}+\frac{\frac{1}{d}+\frac{1}{b}}{(\frac{1}{c}+\frac{1}{b})(\frac{1}{d}+\frac{1}{a})}]$$
Sử dụng AM-GM cho mẫu số ta có
\[
VT \ge (\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} + \frac{1}{d}).[\frac{{4(\frac{1}{a} + \frac{1}{c})}}{{(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} + \frac{1}{d})^2 }} + \frac{{4(\frac{1}{b} + \frac{1}{d})}}{{(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} + \frac{1}{d})^2 }}] = 4
\]
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a=c; b=d
$$=(abc+abd+acd+bcd)[\frac{\frac{1}{a}+\frac{1}{c}}{(\frac{1}{a}+\frac{1}{b})(\frac{1}{d}+\frac{1}{c})}+\frac{\frac{1}{d}+\frac{1}{b}}{(\frac{1}{c}+\frac{1}{b})(\frac{1}{d}+\frac{1}{a})}]$$
Sử dụng AM-GM cho mẫu số ta có
\[
VT \ge (\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} + \frac{1}{d}).[\frac{{4(\frac{1}{a} + \frac{1}{c})}}{{(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} + \frac{1}{d})^2 }} + \frac{{4(\frac{1}{b} + \frac{1}{d})}}{{(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} + \frac{1}{d})^2 }}] = 4
\]
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a=c; b=d
0 nhận xét:
Đăng nhận xét