Đề thi ĐH khối B năm 2011

Đề thi ĐH khối B năm 2011
Cho a,b là 2 số thực dương thỏa $2(a^2+b^2)+ab=(a+b)(ab+2)$
Tìm GTNN của P =$4(\frac{a^3}{b^3}+\frac{b^3}{a^3})-9(\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{a^2})$
Ta có: $$a,b > 0 \Rightarrow 2\left( {{a^2} + {b^2}} \right) + ab = \left( {a + b} \right)\left( {ab + 2} \right) \Leftrightarrow 2\left( {{a^2} + {b^2}} \right) + ab = {a^2}b + a{b^2} + 2\left( {a + b} \right)$$
$$ \Leftrightarrow 2\left( {\frac{a}{b} + \frac{b}{a}} \right) + 1 = \left( {a + b} \right) + 2\left( {\frac{1}{a} + \frac{1}{b}} \right)$$
Theo AM - GM: $$\left( {a + b} \right) + 2\left( {\frac{1}{a} + \frac{1}{b}} \right) \geqslant 2\sqrt {2\left( {a + b} \right)\left( {\frac{1}{a} + \frac{1}{b}} \right)}  = 2\sqrt {2\left( {\frac{a}{b} + \frac{b}{a} + 2} \right)} $$
$$ \Rightarrow 2\left( {\frac{1}{a} + \frac{1}{b}} \right) + 1 \geqslant 2\sqrt {2\left( {\frac{a}{b} + \frac{b}{a} + 2} \right)}  \Leftrightarrow \frac{a}{b} + \frac{b}{a} \geqslant \frac{5}{2}$$
Đặt $$t = \frac{a}{b} + \frac{b}{a},t \geqslant \frac{5}{2} \Rightarrow P = 4\left( {{t^3} - 3t} \right) - 9\left( {{t^2} - 2} \right) = 4{t^3} - 9{t^2} - 12t + 18 = f\left( t \right)$$
Khảo sát hàm số trên ta được: $$\min P =  - \frac{{23}}{4} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\frac{a}{b} + \frac{b}{a} = \frac{5}{2}\\
a + b = 2\left( {\frac{1}{a} + \frac{1}{b}} \right)
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\left( {a,b} \right) = \left( {1,2} \right)\\
\left( {a,b} \right) = \left( {2,1} \right)
\end{array} \right.$$