Khối A năm 2005

Khối A năm 2005

Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=1$

Chứng minh rằng:$$\frac{1}{2a+b+c}+\frac{1}{c+2b+a}+\frac{1}{2c+b+a}\leq 1$$

Áp dụng $\frac{a^2}{x} +\frac{b^2}{y} \ge \frac{(a+b)^2}{x+y}$
Ta có
$$\frac{1}{2x+y+z} =\frac{(\frac{1}{2} +\frac{1}{2})^2}{2x+y+z} \le \frac{(\frac{1}{2})^2}{x+y} +\frac{(\frac{1}{2})^2}{x+z} =\frac{(\frac{1}{4} +\frac{1}{4})^2}{x+y} +\frac{(\frac{1}{4}+\frac{1}{4})^2}{x+z} \le \frac{(\frac{1}{4})^2}{x} +\frac{(\frac{1}{4})^2}{y} +\frac{(\frac{1}{4})^2}{x} +\frac{(\frac{1}{4})^2}{z} =\frac{1}{16}.(\frac{2}{x} +\frac{1}{y} +\frac{1}{z})$$
Tương tự
$$\frac{1}{x+2y+z} \le \frac{1}{16}(\frac{1}{x} +\frac{2}{y} +\frac{1}{z}) ; \frac{1}{x+y+2z} \le \frac{1}{16}(\frac{1}{x} +\frac{1}{y}+\frac{2}{z})$$
Như vậy
$$\frac{1}{2x+y+z} +\frac{1}{x+2y+z} +\frac{1}{x+y+2z} \le \frac{1}{16}(\frac{2}{x} +\frac{1}{y} +\frac{1}{z}) +\frac{1}{16}(\frac{1}{x} +\frac{2}{y}+\frac{1}{z}) +\frac{1}{16}(\frac{1}{x} +\frac{1}{y}+\frac{2}{z})$$
$$\le \frac{1}{16}(\frac{4}{x} +\frac{4}{y}+\frac{4}{z}) \le \frac{4}{16}(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}) \le \frac{1}{4}.4 =1$$