Gọi $a,b,c$ là độ dài cạnh của 1 tam giác có 3 góc nhọn.
CMR: $\forall x,y,z \in R$
Ta luôn có: \[\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} + \frac{{{z^2}}}{{{c^2}}} > \frac{{2{x^2} + 2{y^2} + 2{z^2}}}{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}\]BĐT cần chứng minh tương đương với $$(a^2  + b^2  + c^2 )(\frac{{x^2 }}{{a^2 }} + \frac{{y^2 }}{{b^2 }} + \frac{{z^2 }}{{c^2 }}) > 2x^2  + 2y^2  + 2z^2$$
$$\Leftrightarrow (b^2+c^2)\frac{x^2}{a^2}+(c^2+a^2)\frac{y^2}{b^2}+(a^2+b^2)\frac{z^2}{c^2}>x^2+y^2+z^2$$
$$\Leftrightarrow (b^2+c^2-a^2)\frac{x^2}{a^2}+(c^2+a^2-b^2)\frac{y^2}{b^2}+(a^2+b^2-c^2)\frac{z^2}{c^2}>0$$
Gọi tam giác đã cho là tam giác ABC nhọn, có BC=a; CA=b; AB=c. Giả sử a=max{a,b,c} ta có
$$a^2-b^2>0,a^2-c^2\geq 0$$
$$\Rightarrow c^2+a^2-b^2>0,a^2+b^2-c^2>0$$
Mặt khác do tam giác ABC nhọn nên hạ đường cao BH thì H nằm trong cạnh AC suy ra CH<CA, suy ra $$BC^2=BH^2+CH^2<AB^2+AC^2 $$
Suy ra $b^2+c^2-a^2>0$
Do đó BĐT được chứng minh