Cho x,y,z thuộc [1,3]
Chứng minh rằng: $$(x+y+z)(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})\leq 12$$
Chứng minh rằng: $$(x+y+z)(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})\leq 12$$
Lời giải:
Do $x,y,z \in \left[ {1;3} \right]$ nên $\left( {x - 1} \right)\left( {x -
3} \right) \leqslant 0 \Leftrightarrow {x^2} - 4x + 3 \leqslant 0
\Leftrightarrow x + \frac{3}{x} \leqslant 4$
Tương tự, ta có: $y + \frac{3}{y} \leqslant 4\,\,\,,\,\,\,\,\,\,z + \frac{3}{z} \leqslant 4$. Cộng các bất đẳng thức trên vế theo vế ta được:
$$x + y + z + 3\left( {\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z}} \right) \leqslant 12$$
Mặt khác, theo BĐT AM - GM :$x + y + z + 3\left( {\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z}} \right) \geqslant 2\sqrt {3\left( {x + y + z} \right)\left( {\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z}} \right)} $
$$\Rightarrow 2\sqrt {3\left( {x + y + z} \right)\left( {\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z}} \right)} \leqslant 12 \Leftrightarrow 3\left( {x + y + z} \right)\left( {\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z}} \right) \leqslant 36$$
$$\Leftrightarrow \left( {x + y + z} \right)\left( {\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z}} \right) \leqslant 12\,\,\,\,$$
Tương tự, ta có: $y + \frac{3}{y} \leqslant 4\,\,\,,\,\,\,\,\,\,z + \frac{3}{z} \leqslant 4$. Cộng các bất đẳng thức trên vế theo vế ta được:
$$x + y + z + 3\left( {\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z}} \right) \leqslant 12$$
Mặt khác, theo BĐT AM - GM :$x + y + z + 3\left( {\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z}} \right) \geqslant 2\sqrt {3\left( {x + y + z} \right)\left( {\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z}} \right)} $
$$\Rightarrow 2\sqrt {3\left( {x + y + z} \right)\left( {\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z}} \right)} \leqslant 12 \Leftrightarrow 3\left( {x + y + z} \right)\left( {\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z}} \right) \leqslant 36$$
$$\Leftrightarrow \left( {x + y + z} \right)\left( {\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z}} \right) \leqslant 12\,\,\,\,$$
Điều phải chứng minh $\blacksquare$
0 nhận xét:
Đăng nhận xét